7 hằng đẳng thức đáng nhớ và cách vận dụng trong toán học
7 hằng đẳng thức đáng nhớ là nền tảng quan trọng trong toán học, giúp rút gọn biểu thức và giải bài toán nhanh chóng, chính xác. Việc nắm vững và vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết bài tập dễ dàng mà còn nâng cao tư duy toán học. Trong bài viết này, Phong Vũ Tech News sẽ cùng bạn tìm hiểu chi tiết về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và cách áp dụng chúng vào các dạng bài tập thường gặp.
Lý thuyết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Hằng đẳng thức là một đẳng thức luôn đúng với mọi giá trị của biến số trong biểu thức. Nói cách khác, đây là những công thức toán học không thay đổi giá trị, bất kể ta thay thế biến bằng số nào. Hằng đẳng thức thường được sử dụng để rút gọn biểu thức, biến đổi phương trình và giải quyết các bài toán liên quan đến đa thức trong đại số. Một trong những nhóm hằng đẳng thức quan trọng và phổ biến nhất là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, giúp đơn giản hóa các phép nhân, khai triển hoặc phân tích đa thức.
Lý thuyết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Dưới đây là chi tiết từng 7 hằng đẳng thức cùng với cách nhận diện và áp dụng chúng trong bài toán:
Bình phương của một tổng
Lý thuyết: Bình phương của một tổng hai số bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương số thứ hai.
Lý thuyết: Bình phương của một hiệu hai số bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương số thứ hai.
Lý thuyết: Hiệu hai bình phương của hai số bằng tích của tổng hai số đó với hiệu của hai số đó.
Công thức: a² – b² = (a + b)(a – b)
Hiệu hai bình phương
Ví dụ:
x² – 9 = x² – 3² = (x + 3)(x – 3)
4x² – 25y² = (2x)² – (5y)² = (2x + 5y)(2x – 5y)
Lập phương của một tổng
Lý thuyết: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương số thứ nhất cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số thứ hai, cộng với lập phương số thứ hai.
Lý thuyết: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số thứ hai, trừ đi lập phương số thứ hai.
Bên cạnh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản, toán học còn có các hằng đẳng thức mở rộng giúp giải quyết những bài toán phức tạp hơn. Các công thức này thường xuất hiện khi làm việc với đa thức bậc cao, giúp khai triển hoặc rút gọn biểu thức một cách hiệu quả. Dưới đây là một số hằng đẳng thức mở rộng quan trọng:
Các hằng đẳng thức mở rộng
Hằng đẳng thức mở rộng bậc hai
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
(a – b + c)² = a² + b² + c² – 2ab – 2bc + 2ca
(a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2ab + 2bc + 2ca + 2ad + 2bd + 2cd
Hằng đẳng thức mở rộng bậc ba
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc
Hằng đẳng thức dạng tổng quát
Lý thuyết:
Hằng đẳng thức dạng tổng quát là sự mở rộng của các hằng đẳng thức cơ bản để áp dụng cho các đa thức có nhiều số hạng hoặc lũy thừa cao hơn. Những công thức này giúp khai triển, phân tích hoặc rút gọn các biểu thức phức tạp trong đại số.
an + bn = ( a + b )( an-1 – an-2b + an-3b2 – … + bn-1 ) với n chẵn
an – bn = ( a – b )( an-1 + an-2b + an-3b2 + … + bn-1 ) với n lẻ
an – bn = ( a – b )( an-1 + an-2b + an-3b2 + … + bn-1 ) với n chẵn
= (a + b)( an-1 – an-2b + an-3b2 – … + bn-1 )
Tham khảo một số dòng laptop nổi bật, bán chạy tại Phong Vũ dưới đây:
Bài tập có lời giải về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Để hiểu rõ hơn về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và cách áp dụng chúng vào giải toán, chúng ta sẽ cùng xem qua một số bài tập minh họa. Các bài tập này giúp rèn luyện kỹ năng khai triển, rút gọn biểu thức và tính toán nhanh hơn, đồng thời hỗ trợ việc học tốt các phần liên quan đến đa thức trong toán học. Dưới đây là một số bài tập có lời giải chi tiết để bạn tham khảo:
Bài tập có lời giải về 7 hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Ví dụ: Tính (x + 5)²
Lời giải:
Áp dụng công thức: (x + 5)² = x² + 2(x)(5) + 5²
Kết quả: x² + 10x + 25
2. Bình phương của một hiệu: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Ví dụ: Tính (2y – 3)²
Lời giải:
Áp dụng công thức: (2y – 3)² = (2y)² – 2(2y)(3) + 3²
Kết quả: 4y² – 12y + 9
3. Hiệu hai bình phương: a² – b² = (a + b)(a – b)
Ví dụ: Tính x² – 16
Lời giải:
Viết lại: x² – 16 = x² – 4²
Áp dụng công thức: x² – 4² = (x + 4)(x – 4)
Kết quả: (x + 4)(x – 4)
4. Lập phương của một tổng: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Ví dụ: Tính (x + 2)³
Lời giải:
Áp dụng công thức: (x + 2)³ = x³ + 3(x²)(2) + 3(x)(2²) + 2³
Kết quả: x³ + 6x² + 12x + 8
5. Lập phương của một hiệu: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Ví dụ: Tính (3y – 1)³
Lời giải:
Áp dụng công thức: (3y – 1)³ = (3y)³ – 3(3y)²(1) + 3(3y)(1²) – 1³
Kết quả: 27y³ – 27y² + 9y – 1
6. Tổng hai lập phương: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
Ví dụ: Tính x³ + 8
Lời giải:
Viết lại: x³ + 8 = x³ + 2³
Áp dụng công thức: x³ + 2³ = (x + 2)(x² – 2x + 4)
Kết quả: (x + 2)(x² – 2x + 4)
7. Hiệu hai lập phương: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Ví dụ: Tính 27y³ – 1
Lời giải:
Viết lại: 27y³ – 1 = (3y)³ – 1³
Áp dụng công thức: (3y)³ – 1³ = (3y – 1)(9y² + 3y + 1)
Kết quả: (3y – 1)(9y² + 3y + 1)
7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những công cụ quan trọng giúp khai triển và rút gọn biểu thức nhanh chóng. Việc nắm vững và thực hành với các bài tập sẽ giúp bạn áp dụng chúng hiệu quả vào giải toán.
Lời kết
7 hằng đẳng thức đáng nhớ là công cụ quan trọng giúp đơn giản hóa biểu thức và giải quyết nhanh các bài toán đại số. Việc nắm vững lý thuyết và thực hành qua các bài tập sẽ giúp bạn áp dụng linh hoạt vào thực tế, từ đó nâng cao kỹ năng toán học. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong học tập và giải bài tập hiệu quả.
